1. 随机振动——概率结构动力学

结构动力学是研究在动力激励下结构的线性/非线性动力响应、结构动力可靠度以及结构控制的一门学科[1]。其中，确定性结构动力学可以粗略地表述为在确定性动力激励情况下、确定性结构系统响应的预测评价与控制。然而，在工程实际中，作用于工程结构上的动力荷载往往不是确定性时间函数，如：由地震中作用于结构基底的地震动加速度引起的惯性力、由阵风或脉动风作用于高层结构表面的风压引起的风荷载、由路面不平顺对车辆的纵向加速度引起的惯性力以及由海浪作用于海洋建筑/构筑物表面引起的波浪力等，从而导致了结构动力响应亦不能由某确定性时间函数表示。不仅如此，采用确定性的力学系统，由于忽视了由材料特性、边界条件以及结构物理性质的随机性带来的力学系统整体的随机性，在本质上也不能反映结构动力响应的变异性[2]。通常，将只考虑外部激励随机性引起的结构随机动力响应的预测称之为随机振动问题，而将只考虑结构随机性而引起的结构随机动力响应的预测称之为随机结构分析问题；对于随机性同时存在于二者之中的随机动力响应的预测称之为复合随机振动分析问题[2]。一般地讲，随机振动研究的重点在于，在已知随机激励的概率特性描述(现象学的功率谱描述、概率密度描述等，或物理意义上的随机函数描述)的基础上，如何预测线性/非线性结构的随机动力响应的概率特性以及基于此概率特性的结构动力可靠度评估和结构性态控制。

2. 非线性与随机振动

不论在确定性结构动力学或随机振动理论中，由大变形引起的几何非线性、由材料非线性弹性或耗能引起的材料非线性以及由流固耦合问题等因素引起的非线性问题，亦值得我们关注。表 1.1列举出了某些简单的非线性数学模型在工程结构确定性/随机振动分析中的应用。同时，由于结构工程随机振动问题一般与地震、强风、巨浪或爆炸等灾害性动力作用相关，而且这些作用在时间、空间和强度上均具有强烈的随机性，使得工程结构的反应性态可能产生大幅涨落，很难避免工程结构进入非线性受力状态。具体而言，非线性造成工程结构的内力重分布，而随机性使得工程结构的内力重分布特征带有不能被确定性跟踪的特征。这样的一种演化过程，不仅可以使非线性效应得到增强或削弱，也可以使得工程结构的变异性得到放大或缩小[3]，这就造成工程结构的非线性受力行为从本质上具有多样性与不可被精确预测的特性。因此，考虑随机性与非线性耦合的随机振动问题在工程结构随机动力分析方面显得尤为重要。

3. 随机振动发展初期简史

一般认为，随机振动作为一门学科的兴起源于上世纪50年代。由于喷气式飞机与火箭技术的发展，在航空航天工程中提出了下面三个问题：喷气噪声引起的靠近发动机附近机体/箭体表面的声疲劳、由于大气湍流引起的飞机抖振(Buffeting)[4]以及火箭推进运载工具中有效载荷的可靠性问题[5]。这些振动问题的共同特点在于无论是激励还是结构响应，即使在“完全”相同的条件下开展实验测量的结果，虽然具有相同的某些统计特征值、但却不能用简单的确定性过程表示。当人们努力解决这些问题时，发现在二战期间发展的统计通讯理论[6, 7]能较好的移置于至少是线性随机振动的理论中。

实际上，对随机动力系统的研究，可认为远早于上世纪50年代航空航天领域问题的提出。1905年，Einstein对悬浮于水中花粉粒子在周围液体分子不规则碰撞下产生的Brown运动的研究[8, 9]，可认为是随机动力系统研究的开始。在Einstein的研究中，导出了花粉粒子密度的扩散演化方程。基于同样的思想，1914年由Fokker[10]首先得到并于1917由Planck[11]加以发展的Fokker-Planck前向微分方程、以及1931年由Kolmogorov独立导出的后向Kolmogorov方程[12]，共同组成了后来被称为Fokker-Planck-Kolmogrov(FPK)方程的概率密度方程。实际上，Einstein获得的微小粒子在水分子作用下的密度方程为FPK方程只有扩散项(Diffusion)而没有飘移项(Drift)的特例。发端于Einstein，沿着Einstein-Fokker-Planck-Kolmogorov路径而进行的研究，李杰将其称之为随机动力系统研究的现象学传统[1]。

另一方面，1908年，在假定周围大量液体分子对粒子碰撞合力为一个随机力、以及考虑了液体对粒子的阻尼力的情况下，Langevin提出了微小粒子在液体中受力平衡的Langevin方程[27]，并随后得到了与Einstein相同的扩散方程；Weiner对Brown运动过程的样本轨迹特性进行深入的研究后，认为其为独立增量的随机过程，从而为理性反映Langevin随机力奠定了基础[28]； 对随机过程与随机微分方程进行了系统的研究，并提出了 微分方程的严格定义，从而澄清了与Langevin方程随机力相关的积分运算的意义，表明Langevin随机力可以利用数学白噪声进行处理[29, 30]；Stratonovich进一步提出了利用物理白噪声解释Langevin随机微分方程中与随机力相关的积分运算，并出了所谓的Stratonovich随机微分方程[31]；Wong和Zakai提出了Wong-Zakai修正项，建立了 和Stratonovich意义上随机微积分的关系[32]；开始于Langevin，沿着Langevin- -Stratonovich路径进行的研究线索，李杰将其称之为随机动力系统研究的物理学传统[1]。

事实上，在随机动力学发展的初期，亦有其它大量文献对随机过程理论及随机动力系统有着系统深入的研究，如[33-36]等，这里不再赘述。在工程实际问题的驱使下以及在已存在于数学、物理学和统计通信等领域理论方面的工作的基础上，1958年，在美国麻省理工学院举办的随机振动暑期讨论班以及随后由Crandall主编的此次讨论班文集的出版[37, 38]可认为是随机振动作为一门学科诞生的标志[39, 40]。最近，Paez对从Einstein对Brown运动的研究开始，到1958年Crandall举办研讨班为止的50余年的随机振动“孕育期”历史从四个方面作了详尽的文献综述[40]。

如前所述，上世纪50年代初到1958年，随机振动理论从各学科移置而来的方法能较好地解决一些线性随机振动问题。线性随机振动问题的核心思想是，利用时域中系统的脉冲响应函数与频域中的频率响应函数，建立系统随机动力响应概率特征值与随机激励概率特征值之间的关系。常用的线性随机振动分析方法包括模态叠加法(时域方法)、传递函数方法(频域方法)以及新近发展的虚拟激励法[41]。其中，后者的提出使得线性结构的高效随机振动分析成为现实。线性结构随机振动方法，对于在具有高斯假定的随机激励作用下的线性系统尤为适用：由于是线性系统，激励的高斯性导致了响应的高斯性，而随机动力响应的概率密度函数仅由其前二阶矩决定。

4.非线性随机振动方法

由于叠加原理不再适用于非线性系统，因此在线性系统中行之有效的方法不再适用，人们必须发展新的解决方法，在20世纪后半期的研究中，先后提出了：Markovian过程方法、随机平均法、等效线性化/非线性化、矩截断方法、最大熵方法以及Monte Carlo模拟等。不幸的是，这些方法无一能理想地解决结构工程领域所特有的问题。一般而言，对于随机激励下的非线性系统，决定何种方法适用的因素主要可以分为：

1. 系统特性，如系统自由度数、非线性项特性(质量、阻尼或刚度非线性；对称/反对称非线性等)以及非线性对系统响应的影响(准平稳性或随机分岔)等；

2. 激励特性，如宽带/窄带激励、平稳/非平稳、激励强度以及参数激励/外部激励(乘性/加性)一致调制/非一致调制等；

3. 需要获得的响应特征，如平稳/非平稳响应、矩解答/概率密度解答等。

针对非线性随机振动问题面临的困境、局限与难点，2001年以来，李杰与陈建兵通过系统诠释概率守恒原理，发展了一类计算随机系统在随机动力作用下的响应概率密度的方法，并称之为概率密度演化方法(Probability Density Evolution Method, PDEM)。通过对激励/结构的物理随机建模，或现象学上对随机过程/场的(正交)展开，PDEM不仅适用于随机结构的动力响应分析，而且能较好地适用于随机振动问题或复合随机振动问题。

随机振动愈60年的发展产生了诸多在理论和实际方面优秀的文献，其中不乏影响较大的学术著作，如：[1, 14, 39, 42-53]等；除此之外，对随机振动或具体方法的综述性文献如：[40, 54-73]等。

后记：

以上内容摘自我的博士学位论文第一章（绪论）。